肥尾分布与黑天鹅：当正态分布失效时
引子：2008年的"不可能" 2008年8月，雷曼兄弟。 首席风险官在董事会报告： “我们的风险模型显示，公司资不抵债的概率是10⁻¹³⁵——相当于宇宙年龄内发生一次。” 一个月后，2008年9月15日，雷曼兄弟宣布破产。 资产$6390亿，负债$6130亿，成为美国历史上最大企业破产案。 问题不在于他们的数学，而在于他们的假设。 他们的风险模型假设：金融市场服从正态分布（钟形曲线）。 但真实世界：极端事件远比正态分布预测的更频繁。 这就是今天的主题：肥尾分布（Fat Tails）与黑天鹅（Black Swans）。 正态分布的谎言 钟形曲线：美丽但危险 正态分布（Normal Distribution / Gaussian）： ╱‾‾‾╲ ╱ ╲ ╱ ╲ ╱ ╲ _____╱ ╲_____ 68%的数据在1个标准差内 95%的数据在2个标准差内 99.7%的数据在3个标准差内 特点： 对称 均值=中位数=众数 极端值概率极低 样本均值快速收敛 适用： 人类身高 测量误差 大量独立随机变量的和（中心极限定理） 不适用： 金融市场回报 企业收入 城市人口 战争伤亡 畅销书销量 为什么金融市场不是正态分布？ 案例对比： 如果股市真的服从正态分布（假设均值0%，标准差1%）： 单日跌幅 > 5%（5个标准差）的概率： = 0.0000003（约300万分之一） 每天交易，多久发生一次？ = 300万天 / 250交易日 ≈ 12,000年一次 实际数据（1950-2020，美国股市）： 单日跌幅 > 5%：发生过约20次 = 平均每3.5年一次 vs 正态分布预测：12,000年一次 差距：3000倍！ 1987年10月19日（黑色星期一）： 单日跌幅：-22.6% 如果是正态分布（标准差1%）： 这是22.6个标准差事件 概率：10⁻¹⁵⁸ 相当于每10¹⁵⁵年发生一次 宇宙年龄才138亿年（10¹⁰） 结论：金融市场有肥尾（Fat Tails） ...