引言：赌场里的秘密

1956年，贝尔实验室，物理学家John Kelly发表论文。

问题：如果你有内部信息（知道赔率有利），应该下注多少？

答案：Kelly公式——最大化长期资本增长率的最优下注比例。

应用：

  • Edward Thorp：用Kelly公式在拉斯维加斯赚取数百万（21点）
  • Warren Buffett、Bill Gross：用Kelly思想管理投资

核心洞察：

“不是要不要下注，而是下注多少。”

今天我们探讨：Kelly公式的原理？如何应用于交易？为何大多数人会over-bet？

第一部分：Kelly公式的数学

基础公式

Kelly Criterion（Kelly准则）：

f* = (bp - q) / b

其中：
f* = 最优下注比例（占总资本的%）
b = 赔率（盈利时的收益倍数）
p = 胜率（获胜概率）
q = 1-p（失败概率）

推导目标：

  • 最大化几何平均增长率（长期复利）

例子：

场景：抛硬币赌博

  • 胜率p = 60%（作弊硬币，偏向正面）
  • 赔率b = 1（赢了+100%，输了-100%）

计算：

f* = (1×0.6 - 0.4) / 1 = 0.2 = 20%

结论：每次下注总资本的20%，长期资本增长率最大。

为什么20%是最优？

模拟（1000次抛硬币，初始资本$100）：

下注比例最终资本（平均）破产概率
10%$1,5230%
20%（Kelly）$2,8910%
30%$1,9825%
50%$12735%
100%$0100%

洞察：

  • <20%：过于保守，增长慢
  • =20%：最优

  • 20%：over-bet，破产风险↑，长期收益↓

  • =100%：必然破产（gambler’s ruin）

第二部分：交易中的Kelly公式

交易版Kelly公式

简化版（盈亏比固定）：

f* = (胜率 × 盈亏比 - 败率) / 盈亏比

或：

f* = (p × R - (1-p)) / R

其中：
R = 盈亏比 = 平均盈利 / 平均亏损

案例1：

  • 胜率p = 40%
  • 盈亏比R = 2:1（平均盈利$200，平均亏损$100）

计算：

f* = (0.4×2 - 0.6) / 2 = 0.1 = 10%

结论：单笔交易风险10%总资本。

案例2（更常见）：

  • 胜率p = 55%
  • 盈亏比R = 1.5:1

计算：

f* = (0.55×1.5 - 0.45) / 1.5
   = (0.825 - 0.45) / 1.5
   = 0.25 = 25%

期望值的前提

Kelly公式的前提：正期望值。

期望值（EV）：

EV = p × R - (1-p)

Kelly公式等价于：
f* = EV / R

如果EV≤0：

  • Kelly公式→f*≤0
  • 含义：不要下注（或做空）

交易启示：

  • 先确保策略有正期望值
  • 再用Kelly决定仓位

第三部分：Full Kelly vs Fractional Kelly

Full Kelly的问题

Full Kelly（f=20%例子）*：

  • 理论上最大化长期增长
  • 但：波动巨大，心理难以承受

模拟数据：

  • Full Kelly（20%）：最大回撤-40%
  • Half Kelly（10%）：最大回撤-18%

心理问题：

  • -40%回撤→恐慌→放弃策略
  • “理论最优≠实际最优”

Fractional Kelly（分数Kelly）

实践共识：使用1/2 Kelly或1/4 Kelly。

原因：

1. 参数估计误差：

  • 胜率、盈亏比=估计值（不是真实值）
  • 如果高估→over-bet→灾难

研究（MacLean et al., 2010）：

  • 高估胜率10%→Full Kelly导致长期收益下降50%
  • Half Kelly对误差更robust

2. 心理承受能力：

  • Half Kelly：回撤↓，更容易坚持

3. 安全边际：

  • Buffett：“Margin of Safety”
  • 保守Kelly=风险缓冲

推荐：

风险偏好Kelly倍数
激进（职业交易者）0.5 - 0.75 Kelly
稳健（大多数人）0.25 - 0.5 Kelly
保守0.1 - 0.25 Kelly

第四部分：Kelly在中国A股的应用

参数估计挑战

问题：中国A股的胜率和盈亏比不稳定。

数据（某趋势策略，2015-2024）：

年份胜率盈亏比Kelly%
201562%1.827%
201648%1.59%
201755%1.618%
201838%2.17%

结论：

  • 参数年度间波动巨大
  • 用历史平均→可能over-bet

解决方案：

1. 滚动窗口：

  • 用最近100笔交易计算（而非全部历史）
  • 更反映当前市场环境

2. 保守估计：

  • 胜率：用lower bound（如95%置信区间下限）
  • 盈亏比：同样保守估计

3. 动态调整：

  • 每月重新计算Kelly%
  • 根据近期表现调整仓位

A股特色考虑

因素1：涨跌停限制

影响：

  • 盈利上限（+10%封死）
  • 亏损下限（-10%无法止损）

调整：

  • Kelly公式假设连续市场
  • A股→实际盈亏比受限
  • 建议：Kelly% × 0.8（安全系数）

因素2：T+1制度

影响：

  • 当日买入，次日才能卖出
  • 隔夜风险（开盘跳空）

调整：

  • 增加隔夜风险权重
  • 进一步降低Kelly%

因素3：融资融券限制

A股融资融券：

  • 门槛高（50万）
  • 杠杆有限（1:1）

好处：

  • 限制了over-betting
  • 降低破产风险

第五部分：Kelly的常见误区

误区1：“Kelly说我应该all-in”

错误理解：

  • Kelly=30%→我应该下注30%

忽略：

  • 这是单一机会的Kelly
  • 如果同时有多个机会？

正确理解：

  • 如果持有10只股票，每只Kelly=10%
  • 总仓位=100%（风险过高）
  • 解决：每只用0.5 Kelly（5%）→总仓位50%

误区2：“Kelly保证不破产”

事实：

  • Kelly最大化长期增长率
  • 但短期仍可能大幅回撤

例：

  • Full Kelly（20%），可能经历-40%回撤
  • 如果心理无法承受→放弃策略→失败

关键：

  • Kelly不保证"舒适"
  • 只保证"长期最优"（如果你能坚持）

误区3：“我的胜率很高，Kelly很大”

问题：过度自信，高估胜率。

现实检验：

  • 回测胜率65% vs 实盘胜率52%
  • 为什么？
    • 过拟合
    • 交易成本
    • 滑点
    • 情绪干扰

防御：

  • 用实盘数据（不是回测）
  • 保守估计
  • Fractional Kelly

第六部分：案例研究

案例：张伟的Kelly之旅

背景：张伟，37岁，量化交易者，本金100万。

策略：

  • 动量突破策略
  • 回测数据（2018-2021）：
    • 胜率58%
    • 盈亏比1.6
    • Kelly = (0.58×1.6-0.42)/1.6 = 31.5%

阶段1：Full Kelly灾难（2022年1月）

操作：

  • 直接使用Full Kelly（31.5%单笔）
  • 第1月：5笔交易，3胜2负（符合预期）
    • 资本：100万→108万（+8%）
  • 心态：“Kelly真神奇！”

第2月（2022年2月）：

  • 遭遇连续亏损：负-负-负-胜-负
  • 资本：108万→79万（-27%）
  • 心态：恐慌、怀疑、失眠
  • 决策：降低仓位至10%

第3月（2022年3月）：

  • 策略反弹：胜-胜-胜
  • 但因为仓位只有10%，资本：79万→85万（+8%）
  • 痛苦：“如果我还用31%，现在是95万！”

问题分析：

  • Full Kelly→波动过大→情绪化决策
  • 在低点减仓、高点加仓（错误）

阶段2：Half Kelly稳定（2022年4月起）

调整：

  • 使用Half Kelly（15%）
  • 承诺：6个月内不改变

结果（2022年4-9月）：

  • 仍有波动，但可承受
  • 最大回撤：-18%（vs Full Kelly的-40%）
  • 6个月后：85万→97万（+14%）

心态：

  • “虽然增长比Full Kelly慢，但我能坚持”
  • “坚持>理论最优”

阶段3：参数动态调整（2023年起）

发现（2023年1月）：

  • 实盘胜率（2022）：52%（vs 回测58%）
  • 实盘盈亏比：1.4（vs 回测1.6）

新Kelly：

f* = (0.52×1.4 - 0.48) / 1.4 = 17.7%
Half Kelly = 8.9%（约9%）

调整：

  • 从15%降至9%
  • “回测过拟合了，实盘要保守”

结果（2023-2024）：

  • 年化收益：+13%（稳定）
  • 最大回撤：-12%（可承受）
  • 关键：持续2年未放弃策略

总结：

  • 100万（2022.1）→126万（2024.12）
  • 如果用Full Kelly→可能在2022年2月放弃
  • Half Kelly + 保守估计 = 长期成功

结语：Kelly不是公式，是哲学

核心洞察：

  • Kelly公式的价值不是"精确数字"
  • 而是思维框架：
    1. 只在有正期望值时下注
    2. 下注大小与优势成正比
    3. 永远留有安全边际（Fractional Kelly）
    4. 过度下注是最大敌人

Buffett的Kelly智慧：

“The most important thing is not how much you make, but how much you don’t lose.”

实践原则：

  1. 计算Kelly：了解理论上限
  2. 减半（或更多）：实际仓位=0.25-0.5 Kelly
  3. 保守估计参数：用实盘数据，不是回测
  4. 动态调整：每季度重新评估
  5. 心理优先：如果仍然睡不着→继续减仓

下一步：

  • 4月10日：破产概率——赌徒的毁灭
  • 4月14日：资金曲线管理——回撤控制

记住Ed Thorp的话：

“The Kelly Criterion tells you the most you should bet. But it doesn’t mean you have to bet that much.”

附录：Kelly计算器

简化Kelly计算

输入你的策略参数：

  1. 胜率（p）：___% （例：55%）
  2. 平均盈利（W）：___元（例：$150）
  3. 平均亏损（L）：___元（例：$100）

计算：

Step 1：盈亏比（R）

R = W / L = ___ / ___ = ___

Step 2：Full Kelly

f* = (p×R - (1-p)) / R
   = (___×___ - ___) / ___
   = ___%

Step 3：Fractional Kelly（推荐）

Half Kelly = f* / 2 = ___%
Quarter Kelly = f* / 4 = ___%

Step 4：单笔风险金额

单笔风险 = 总资本 × Fractional Kelly%
         = ___ × ___%
         = ___元

快速参考表

胜率盈亏比Full KellyHalf Kelly
50%1.517%8.5%
50%2.025%12.5%
55%1.525%12.5%
55%2.030%15%
60%1.533%16.5%
60%2.035%17.5%

注意：

  • 这是单一策略的Kelly
  • 如果多策略/多持仓→需要分配

参考文献

  1. Kelly, J. L. (1956). “A new interpretation of information rate.” Bell System Technical Journal, 35(4), 917-926.
  2. Thorp, E. O. (2006). “The Kelly Criterion in Blackjack, Sports Betting, and the Stock Market.” Handbook of Asset and Liability Management, 385-428.
  3. MacLean, L. C., et al. (2010). “Good and bad properties of the Kelly criterion.” Risk, 20(2), 1-11.
  4. Poundstone, W. (2005). Fortune’s Formula. Hill and Wang.