引子：赌场为什么永远赢？

拉斯维加斯，凌晨3点。

一个赌徒在轮盘赌桌前，已经输了$5000。

他心想：“我运气这么差，下一把肯定会赢！"（赌徒谬误）

他继续下注。

10分钟后，又输了$2000。

为什么赌场永远赢？

不是因为每一局都赢，而是因为期望值（Expected Value）为正。

轮盘赌的数学

美式轮盘：

  • 38个格子（0, 00, 1-36）
  • 赌红色（18个红色格子）
  • 赔率：1:1（赌$100，赢了得$200，输了失$100）

期望值计算：

赢的概率 = 18/38 = 47.37%
输的概率 = 20/38 = 52.63%

EV = (18/38) × $100 + (20/38) × (-$100)
   = 47.37 - 52.63
   = -5.26

每赌$100，平均输$5.26

赌场优势（House Edge）= 5.26%

看起来不多？

但：

  • 赌客每小时玩50局
  • 每局平均$50
  • 每小时EV = 50 × $50 × (-5.26%) = -$131.5

10小时后，期望损失 = $1,315

赌场的秘密：

不是每局都赢，而是靠大数定律（Law of Large Numbers），长期必赢。

今天，我们学习如何像赌场一样思考——用期望值主导决策。

核心概念：期望值的深度理解

数学定义

EV = Σ [P(结果ᵢ) × 价值(结果ᵢ)]

或：
EV = p₁×v₁ + p₂×v₂ + ... + pₙ×vₙ

简单说：每个可能结果的价值，按概率加权求和。

为什么期望值如此重要？

大数定律（Law of Large Numbers）：

当重复次数足够多时，实际平均值会收敛到期望值。

例子：抛硬币

单次：正面或反面（不确定）
10次：可能6正4反（偏差）
100次：约48正52反（接近50:50）
1000次：约497正503反（更接近）
10000次：约4998正5002反（几乎精确50:50）

启示：

如果你能重复足够多次，期望值决定你的长期结果。

三种期望值决策

类型EV决策例子
正期望值EV > 0应该做（长期必赚）价值投资、创业（选对方向）
零期望值EV = 0无所谓（不赚不亏）公平赌博、某些对冲
负期望值EV < 0不应该做（长期必亏）彩票、大多数赌博

期望值思维的实践应用

应用1：创业决策

场景：你被邀请作为CTO加入早期创业公司

选项A：留在大厂

  • 100%概率：年薪$200,000
  • 稳定工作
  • 职业发展可预测

选项B：加入创业公司

  • 年薪$120,000 + 1%股权
  • 5年后退出场景：
    • 50%概率：公司失败，股权价值$0
    • 30%概率：小成功，$10M估值，股权价值$100,000
    • 15%概率：中等成功，$100M估值，股权价值$1M
    • 5%概率：大成功，$1B估值，股权价值$10M

期望值计算（5年总收入）：

选项A：

EV_A = $200,000 × 5 = $1,000,000

选项B（只看财务）：

工资收入 = $120,000 × 5 = $600,000

股权EV = 0.50 × $0
        + 0.30 × $100,000
        + 0.15 × $1,000,000
        + 0.05 × $10,000,000

       = 0 + $30,000 + $150,000 + $500,000
       = $680,000

总EV_B = $600,000 + $680,000 = $1,280,000

纯财务期望值：选项B更优（$1.28M vs $1M）

但等等！这个分析缺少了什么？

效用函数：金钱的边际价值递减

$100万对不同人的价值不同：

场景1：你有$10万存款

  • 损失$10万 = 破产 = 效用 -∞
  • 创业失败风险50% → 即使EV为正，也太危险

场景2：你有$200万存款

  • 损失$10万 = 5%资产 = 可承受
  • 创业值得尝试

效用函数（Utility Function）：

效用 ≠ 金钱数量
效用 = f(金钱，你的财务状况，风险偏好)

常见形式：对数效用函数

U(x) = ln(x)

特点：

  • $0 → $100万：效用增加大
  • $100万 → $200万：效用增加小
  • 边际效用递减

重新计算（考虑效用）：

假设你目前有$50,000存款：

选项A：确定获得$1M
  → 总资产 $1,050,000
  → 效用 U($1,050,000) = ln(1,050,000) = 13.86

选项B：概率分布
  失败(50%)：$600,000 → U = ln(650,000) = 13.38
  小成(30%)：$700,000 → U = ln(750,000) = 13.53
  中成(15%)：$1,600,000 → U = ln(1,650,000) = 14.32
  大成(5%)：$10,600,000 → U = ln(10,650,000) = 16.18

期望效用 = 0.5×13.38 + 0.3×13.53 + 0.15×14.32 + 0.05×16.18
         = 6.69 + 4.06 + 2.15 + 0.81
         = 13.71

期望效用：选项A更优（13.86 vs 13.71）

关键洞察：

最大化期望金钱 ≠ 最大化期望效用

应用2：投资组合

场景：你有$100,000，两个投资机会

投资A（低风险）：

  • 年化收益率：8%
  • 波动率：10%
  • 概率分布（简化）：
    • 60%概率：赚10%
    • 40%概率：赚5%

投资B（高风险）：

  • 年化收益率：20%
  • 波动率：40%
  • 概率分布：
    • 30%概率：赚50%
    • 40%概率：赚10%
    • 30%概率：亏20%

期望收益：

EV_A = 0.6 × 10% + 0.4 × 5% = 8%
EV_B = 0.3 × 50% + 0.4 × 10% + 0.3 × (-20%) = 13%

看起来B更好？

考虑方差（风险）：

Var_A = 0.6×(10%-8%)² + 0.4×(5%-8%)²
      = 0.6×4 + 0.4×9
      = 6
      → 标准差 ≈ 2.45%

Var_B = 0.3×(50%-13%)² + 0.4×(10%-13%)² + 0.3×(-20%-13%)²
      = 0.3×1369 + 0.4×9 + 0.3×1089
      = 410.7 + 3.6 + 326.7
      = 741
      → 标准差 ≈ 27.2%

夏普比率（Sharpe Ratio）：

夏普比率 = (期望收益 - 无风险利率) / 标准差

假设无风险利率 = 3%

Sharpe_A = (8% - 3%) / 2.45% = 2.04
Sharpe_B = (13% - 3%) / 27.2% = 0.37

风险调整后收益：A更优！

最优组合（现代投资组合理论）：

不是100% A或100% B，而是组合：

假设70% A + 30% B：
期望收益 = 0.7 × 8% + 0.3 × 13% = 9.5%
风险（简化）：介于A和B之间

通过分散化，提高期望收益的同时降低风险。

应用3：日常决策

场景：周五晚上，两个选项

选项A：去参加networking活动

  • 80%概率：没什么收获，浪费3小时
  • 15%概率：认识有趣的人，建立联系（价值：+5 效用）
  • 5%概率：认识重要人物，改变职业轨迹（价值：+50 效用）
  • 成本：-2 效用（时间、精力）

选项B：在家看Netflix

  • 100%概率：放松愉快
  • 价值：+3 效用

期望效用：

EV_A = 0.80 × (-2) + 0.15 × (5-2) + 0.05 × (50-2)
     = -1.6 + 0.45 + 2.4
     = 1.25

EV_B = 1.0 × 3 = 3

看起来应该选B（在家）？

但考虑长期：

如果你每周五都选B，1年52周：

总效用 = 52 × 3 = 156

如果每周五都选A，1年52周：

期望总效用 = 52 × 1.25 = 65

但有：
  - 约3次（5%×52）认识重要人物的机会
  - 实际效用可能远超期望值（非线性收益）

关键：

某些决策的价值在于"创造可能性”，而非短期期望值。

Black Swan机会（Nassim Taleb）：

  • 概率极低
  • 影响巨大
  • 期望值计算可能低估真实价值

策略：

对高upside、低downside的机会，即使期望值略低，也值得尝试（期权思维）。

Kelly Criterion：最优下注比例

问题的提出

假设：你发现一个正期望值的投资机会

  • 60%概率赚1倍
  • 40%概率亏掉全部投入

期望值：

EV = 0.6 × 1 + 0.4 × (-1) = 0.2 = +20%

问题：你应该投入多少比例的资金？

选项：

  • 100%？（最大化期望值）
  • 50%？
  • 10%？

Kelly Criterion公式

John Kelly (1956) 提出：

f* = (bp - q) / b

其中：
f* = 最优投资比例
b = 赔率（赢时获得倍数）
p = 胜率
q = 1 - p（败率）

上面例子：

b = 1（赢1倍）
p = 0.6
q = 0.4

f* = (1 × 0.6 - 0.4) / 1
   = 0.2
   = 20%

最优策略：只投20%资金

为什么不是100%？

模拟对比：

假设你有$1000，玩100次

策略A：全仓（100%）

第1次赢（60%）：$2000
第1次输（40%）：$0 → 破产，游戏结束

即使期望值为正，40%概率你会破产！

策略B：Kelly比例（20%）

资金 = $1000

第1次（假设赢）：
  投入 $200
  赢 $200
  新资金 = $1200

第2次（假设输）：
  投入 $240（20% × $1200）
  输 $240
  新资金 = $960

...

100次后（模拟）：
平均资金 ≈ $10,000+（增长约10倍）
破产概率 ≈ 0

策略C：过度激进（50%）

比Kelly高，增长更快，但风险急剧上升
破产概率 ≈ 15%

策略D：过于保守（5%）

几乎不会破产，但增长缓慢
100次后平均资金 ≈ $1500

Kelly公式的数学原理

最大化对数增长率（Logarithmic Growth Rate）：

G(f) = p × ln(1 + fb) + q × ln(1 - f)

求导，令 dG/df = 0，得：

f* = (bp - q) / b

对数增长的好处：

  1. 避免破产（ln(0) = -∞，会极力避免）
  2. 长期最优（最大化复合增长）
  3. 时间多样化（Time Diversification）

Kelly Criterion的实践调整

Full Kelly vs Half Kelly

很多专业投资者使用：

Half Kelly = f/2*

原因：

  1. 参数估计误差：如果你的p和b估计错误，Full Kelly可能过度激进
  2. 降低波动：Half Kelly大幅降低回撤
  3. 心理可承受：波动小，更容易坚持

例子：

Full Kelly = 20%
Half Kelly = 10%

Full Kelly：
  - 期望增长率：最优
  - 波动率：高
  - 最大回撤：-40%

Half Kelly：
  - 期望增长率：约75%的Full Kelly
  - 波动率：约50%的Full Kelly
  - 最大回撤：-20%

Ed Thorp（对冲基金经理）的实践：

“我使用Half Kelly到Full Kelly之间。具体比例取决于我对估计参数的信心。”

巴菲特的隐形Kelly

伯克希尔哈撒韦的投资组合（2023）：

持仓占比
Apple约45%
Bank of America约10%
Coca-Cola约8%
American Express约7%
其他约30%

最大单一持仓：45%

为什么巴菲特重仓Apple？

因为他认为：

  • 胜率p极高（>90%）
  • 赔率b合理（未来5-10年可能翻倍）
  • Kelly公式允许大比例

但他也不会100%：

  • 分散化（降低特定公司风险）
  • 保持流动性
  • 心理舒适度

期望值的陷阱与解药

陷阱1：样本太小，噪音主导

错误：玩5次，输了3次，就认为EV为负

真相：小样本不代表真实分布

解决：

  • 增加样本量（至少30+次）
  • 用统计显著性检验
  • 不因短期波动改变策略

Kahneman的研究：

人们倾向于在太短时间内评估结果：

  • 投资者每天查看账户 → 看到波动，焦虑，频繁交易
  • 如果每年看一次 → 看到长期增长，心态稳定

陷阱2：忽略破产风险（Gambler’s Ruin）

即使EV为正，如果下注过大，依然会破产。

例子：

游戏：60%赢1倍，40%输全部
期望值：+20%
策略：每次下注100%

第1次赢（60%）：$2000
第2次输（40%）：$0 → 破产

期望破产概率：
  1次后：40%
  2次后：64%（0.6×0.4 + 0.4）
  5次后：>90%

即使长期期望值为正，你可能等不到"长期"。

解决：Kelly Criterion

陷阱3：误估概率

期望值公式的两个输入：

  1. 概率p
  2. 价值v

如果p估计错误，EV就错误。

例子：创业者的乐观偏差

创业者认为：成功概率50%（实际5%）
  → 计算的EV很高
  → 做了错误决策

实际：
  P(成功) = 5%
  真实EV = 负值

解决：

  1. 基础率：先看行业平均成功率
  2. 贝叶斯更新：随证据调整概率
  3. 外部视角：假设你是旁观者，概率是多少？

陷阱4：效用函数非线性

金钱的边际效用递减

例子：

选项A：确定获得$1M
选项B：50%获得$3M，50%获得$0

EV_B = $1.5M > EV_A = $1M

但多数人选A（确定性效应）

原因：

  • $0 → $1M：效用提升巨大（改变生活）
  • $1M → $3M：效用提升有限（锦上添花）

解决：

  • 最大化期望效用，而非期望金钱
  • 用对数或幂函数建模效用

期望值思维的高级应用

应用：A/B测试的决策

场景：电商网站，两个版本

版本A（当前）：

  • 转化率：2%
  • 每日访客：10,000
  • 每日转化：200单

版本B（新设计）：

  • 测试样本：1000访客
  • 转化：25单
  • 转化率：2.5%

问：应该切换到版本B吗？

一阶思维：“2.5% > 2%，切换！”

期望值思维：

1. 计算置信区间

版本B转化率的95%置信区间：
  p̂ = 0.025
  n = 1000

  SE = √[p̂(1-p̂)/n] = √[0.025×0.975/1000] ≈ 0.005

  95% CI = 0.025 ± 1.96×0.005
         = [0.015, 0.035]
         = [1.5%, 3.5%]

2. 计算期望值

情景分析：

真实转化率概率每日额外转化价值（年）
3.5%（最好）5%+150单$$ （巨大）
2.5%（中等）60%+50单$$ （中等）
2.0%（相同）30%0$0
1.5%（更差）5%-50单-$$ （损失）

假设每单利润$50：

EV = 0.05 × (150×$50×365) + 0.60 × (50×$50×365)
     + 0.30 × 0 + 0.05 × (-50×$50×365)

   = 0.05 × $2.7M + 0.60 × $0.9M + 0 - 0.05 × $0.9M
   = $135K + $540K - $45K
   = $630K/年

切换成本：

  • 开发时间：2周 = $20K
  • 风险：如果失败，需回滚

决策：

EV = $630K - $20K - 风险成本
   ≈ $600K+

明确应该切换！

3. 但要持续监测

切换后：

  • 每日监控转化率
  • 如果低于预期（进入置信区间下限），准备回滚
  • 贝叶斯更新：随新数据调整概率分布

应用：产品开发的投资组合

场景：你有10个产品idea，资源只够做3个

如何选择？

期望值矩阵：

Idea成功概率成功价值失败成本EV
A80%$1M-$100K$0.78M
B10%$100M-$500K$9.55M
C50%$5M-$200K$2.4M
D90%$500K-$50K$0.4M
E5%$1B-$1M$49M
……………

策略1：选EV最高的3个

问题：如果都是低概率高价值（如B, E），可能全失败。

策略2：Kelly式组合

投资组合 =
  - 1个高概率中等回报（如A）：降低风险
  - 1个中等概率高回报（如C）：平衡
  - 1个低概率超高回报（如E）：保留upside

分散化的期望值：

EV_组合 = EV_A + EV_C + EV_E
        = $0.78M + $2.4M + $49M
        = $52.18M

但风险分散：
  - 至少1个成功的概率：约99%
  - 全失败概率：<1%

Peter Thiel的观点：

“风投的回报遵循幂律分布。10个投资中，1个回报超过其他9个总和。所以要寻找10x-100x的机会，而非确定的2x。”

但：对个人/小公司，过度集中于低概率高回报风险太大。

平衡：根据你的资源和风险承受力调整。

深度反思：期望值的哲学

长期主义 vs 短期生存

期望值思维假设：你能重复足够多次。

但现实：

  • 创业：可能只有1-2次机会（耗尽时间/资金）
  • 职业：关键决策不多（如换行业）
  • 人生：某些选择不可逆（如生孩子）

解决：

  1. 优先保证生存（避免破产）
  2. 在生存基础上，优化期望值
  3. 创造多次尝试的条件（如保持财务灵活性）

期望值 ≠ 人生意义

Peter Thiel的例子：

选项A：90%概率赚$10M
选项B：10%概率改变世界（赚$0）

纯期望值：选A
但Thiel选B（创立PayPal、投资Facebook）

原因：

某些目标的价值不可用金钱衡量。

效用函数应包括：

  • 财富
  • 影响力
  • 个人成长
  • 意义感
  • 自由度

最大化的是综合效用，而非单一维度。

期望值思维的文化差异

美国/硅谷：

  • “Swing for the fences”（全力以赴，争取本垒打）
  • 接受高风险高回报
  • 失败不羞耻（“fail fast, learn fast”）

中国（传统）：

  • “稳中求进”
  • 重视确定性收益
  • 失败有社会成本（面子）

哪个对？

都对，取决于环境：

  • 在机会多、容错高的环境：激进策略优
  • 在机会少、容错低的环境：保守策略优

关键：自知——了解自己的风险承受力和价值观。

延伸阅读

  1. William Poundstone - Fortune’s Formula

    • Kelly Criterion的历史和应用

  2. Nassim Taleb - Fooled by Randomness

    • 随机性与期望值的陷阱

  3. Ed Thorp - A Man for All Markets

    • Kelly公式实战大师的回忆录

今日练习

练习1：计算日常决策的EV

列出3个你近期的决策：

决策情景1P1价值1情景2P2价值2EV
例：参加会议收获大20%+10收获小80%-20.4

计算EV，看是否改变你的选择。

练习2：Kelly公式应用

假设你有$10,000，发现一个投资机会：

  • 70%概率赚30%
  • 30%概率亏10%
  1. 计算期望收益
  2. 计算Kelly比例
  3. 计算Half Kelly
  4. 决定实际投入金额

练习3：模拟对比

用Python（或Excel）模拟：

  • 全仓策略
  • Kelly策略
  • Half Kelly策略

运行100次，对比结果分布。

明天预告：我们将探讨肥尾分布与黑天鹅——当正态分布失效时，如何思考极端事件。

“从长期看，我们都死了。但在那之前，期望值决定了我们能走多远。”

—— 改编自凯恩斯

“不要告诉我你赢的概率，告诉我如果赢了能赚多少，如果输了会亏多少。”

—— Nassim Taleb