贝叶斯推理实战：如何像福尔摩斯一样思考

引子：福尔摩斯的推理艺术

《血字的研究》开篇，华生医生第一次见到福尔摩斯。

两人握手后，福尔摩斯说：

“您到过阿富汗，我看得出来。”

华生大惊：“您怎么知道？”

福尔摩斯解释：

“习惯成自然，我的思路是这样的：这位先生具有医务工作者的风度，但又是一副军人气概。那么，显然他是个军医。他是刚从热带地方来，因为他脸色黝黑，但是，从他手腕的皮肤黑白分明看来，这并不是他原来的肤色。他面容憔悴，这就清楚地说明他是久病初愈而又历尽了艰苦。他左臂受过伤，现在动作起来还有些僵硬不便。试问，一个英国军医在热带地方历尽艰苦，并且臂部负过伤，这能在什么地方呢？自然只有在阿富汗了。”

这就是贝叶斯推理。

福尔摩斯做了什么？

观察1：医务工作者风度 + 军人气概
  → 更新信念：P(军医) 增加

观察2：脸色黝黑 + 手腕皮肤黑白分明  
  → 更新信念：P(热带地区) 增加

观察3：面容憔悴
  → 更新信念：P(久病初愈 + 历尽艰苦) 增加

观察4：左臂僵硬
  → 更新信念：P(负伤) 增加

综合：英国军医 + 热带 + 艰苦 + 负伤
  → P(阿富汗) ≈ 90%+ （当时英军主要战场）

每个证据都在更新概率分布，直到一个假设概率最高。

今天，我们学习如何系统化地做贝叶斯推理。

贝叶斯定理：深度剖析

数学形式（完整版）

P(H|E) = P(E|H) × P(H) / P(E)

其中：
H = Hypothesis（假设）
E = Evidence（证据）

P(H|E) = 后验概率（看到证据后，假设为真的概率）
P(E|H) = 似然度（假设为真时，看到这个证据的概率）
P(H) = 先验概率（看到证据前，假设为真的概率）
P(E) = 证据概率（看到这个证据的总概率）

直觉理解：

后验 = (似然 × 先验) / 归一化常数

为什么P(E)常被忽略？

因为通常我们比较多个假设：

P(H₁|E) / P(H₂|E) = [P(E|H₁) × P(H₁)] / [P(E|H₂) × P(H₂)]

P(E)在分子分母都有，约掉了。

所以实践中：

后验概率 ∝ 似然度 × 先验概率

似然比（Likelihood Ratio）：更实用的形式

LR = P(E|H为真) / P(E|H为假)

后验几率 = 先验几率 × LR

例子：医疗诊断

场景：

疾病发病率：1%（先验）
检测敏感度：99%（真阳性率）
检测特异度：99%（真阴性率）
结果：阳性

传统贝叶斯计算（昨天讲过）：约50%

用似然比：

先验几率 = P(患病) / P(不患病)
         = 0.01 / 0.99
         ≈ 1:99

似然比 = P(阳性|患病) / P(阳性|不患病)
       = 0.99 / 0.01
       = 99

后验几率 = 1:99 × 99
         = 1:1
         = 50%概率患病

更直观：阳性结果将几率从1:99提升到1:1。

实战案例1：商业决策

场景：是否进入新市场？

假设：新市场潜力大（H）

先验分析：

信息源	先验概率估计
行业报告（增长率20%/年）	70%
竞争对手少（只有2家）	60%
自己经验（类似市场成功过）	55%

综合先验（主观判断）：P(H) = 65%

证据收集与更新

证据E₁：市场调研（200个潜在客户访谈）

结果：

70%表示"有兴趣"
30%表示"可能购买"

问：如果市场真的有潜力，这个结果的概率是多少？

P(E₁|H为真) = 0.8  （真有潜力，应该有更多人有兴趣）
P(E₁|H为假) = 0.3  （没潜力，也有人说有兴趣，客套话）

LR₁ = 0.8 / 0.3 = 2.67

后验几率 = (0.65/0.35) × 2.67 = 1.86:1 / 1
           ≈ 65% → 约80%

更新后：P(H|E₁) ≈ 80%

证据E₂：试点项目（投入$10万，运营3个月）

结果：

获客50个
付费转化率：10%（行业平均15%）
客户反馈：产品OK，但价格偏高

分析：

如果市场有潜力，试点应该表现更好。
转化率低于预期，是负面证据。

P(E₂|H为真) = 0.3  （有潜力但试点差，可能执行问题）
P(E₂|H为假) = 0.7  （没潜力，试点差很正常）

LR₂ = 0.3 / 0.7 ≈ 0.43 （<1，负面证据）

后验几率 = (0.80/0.20) × 0.43 = 1.72:1
           ≈ 80% → 约63%

更新后：P(H|E₁,E₂) ≈ 63%

证据E₃：竞争对手A突然退出市场

公告：市场规模不足以支撑盈利

P(E₃|H为真) = 0.1  （有潜力，竞争对手不太可能退出）
P(E₃|H为假) = 0.8  （没潜力，退出很正常）

LR₃ = 0.1 / 0.8 = 0.125 （强烈负面证据）

后验几率 = (0.63/0.37) × 0.125 = 0.21:1
           ≈ 63% → 约18%

最终后验：P(H|E₁,E₂,E₃) ≈ 18%

决策：不进入该市场（概率太低）

关键洞察

1. 贝叶斯是动态的

随着证据积累，信念不断更新：

65% (先验) 
  → 80% (调研后) 
  → 63% (试点后) 
  → 18% (竞争对手退出后)

2. 负面证据比正面证据更有价值

E₂（试点失败）：LR = 0.43
E₃（竞争对手退出）：LR = 0.125

强烈的负面证据能快速推翻假设。

3. 先验很重要

如果先验是95%（如已在类似市场成功10次），即使有负面证据，后验可能还是70%+。

4. 量化假设的概率

P(E|H) 需要估计，如何得出？

方法：
  1. 历史数据（如过去10个类似项目，7个调研好的真的成功）
  2. 专家判断（有经验的人的主观概率）
  3. 基准率（行业平均）
  4. 组合以上三者

实战案例2：投资决策

场景：这家创业公司会成为独角兽吗？

假设H：公司X会达到$10亿估值（独角兽）

基础率（先验）：

美国每年新创业公司：~70万家
成为独角兽的：~50家/年
基础率 = 50/70万 ≈ 0.007% ≈ 1/14000

这是一个极低的先验！

很多投资者忽略基础率，只看公司本身（基础率忽略）。

证据收集

E₁：创始人背景

连续创业者（上一个公司$50M退出）
斯坦福CS硕士
前Google高级工程师

更新：

P(E₁|成为独角兽) = 0.3  （独角兽中30%有类似背景）
P(E₁|普通公司) = 0.05    （普通公司中5%）

LR₁ = 0.3 / 0.05 = 6

后验几率 = (1/14000) × 6
         = 6/14000
         ≈ 0.04%

**依然极低！**因为先验太低。

E₂：产品市场匹配（PMF）

发布3个月
有机增长（无付费广告）
月活用户：10万
增长率：30%/月
付费转化率：5%
月收入：$50万（ARR $6M）

P(E₂|成为独角兽) = 0.4  （早期表现强劲）
P(E₂|普通公司) = 0.01   （大多数公司达不到）

LR₂ = 0.4 / 0.01 = 40

后验几率 = (0.0004) × 40
         ≈ 1.6%

E₃：顶级VC投资

Sequoia Capital领投$20M A轮
估值$100M（post-money）

P(E₃|成为独角兽) = 0.25  （Sequoia投资的25%成为独角兽）
P(E₃|普通公司) = 0.001  （Sequoia很少投普通公司）

LR₃ = 0.25 / 0.001 = 250

后验几率 = (0.016) × 250
         ≈ 4% → 约80%（校正后）

等等，这个数学有问题：0.016 × 250 = 4，但4的几率转概率应该是80%。

正确计算（用几率形式）：

先验几率 = 1:14000
LR₁ = 6 → 6:14000 = 1:2333
LR₂ = 40 → 40:2333 = 1:58
LR₃ = 250 → 250:58 ≈ 4.3:1

后验概率 = 4.3 / (4.3+1) = 81%

最终：P(成为独角兽 | E₁,E₂,E₃) ≈ 81%

反思

1. 极低先验需要极强证据

从0.007%到81%，需要：

创始人背景（LR=6）
早期数据（LR=40）
顶级VC（LR=250）

累积LR = 6×40×250 = 60,000

2. Sequoia的价值

Sequoia投资本身就是强烈证据（LR=250），因为：

他们有数据优势（看过数千公司）
投后支持（帮助公司成功）

跟投策略：“不自己判断，跟着顶级VC投”

为什么可行？

因为顶级VC已经做了贝叶斯推理，他们的决策是强信号。

风险：

估值高（VC已抬高价格）
信息不对称（你看不到VC看到的全部信息）

实战案例3：个人生活决策

场景：对方喜欢我吗？（约会场景）

假设H：TA对我有好感

先验（基于一般情况）：

假设你们是朋友，没有明显暧昧迹象：

P(H) = 20%（默认大多数朋友关系是platonic）

证据观察

E₁：TA主动约你单独喝咖啡

P(E₁|有好感) = 0.7  （喜欢的话会主动约）
P(E₁|没好感) = 0.2  （朋友也会约，但概率低）

LR₁ = 0.7 / 0.2 = 3.5

后验：20% → 约50%

E₂：咖啡时聊了3小时，TA一直保持眼神接触，身体微微前倾

P(E₂|有好感) = 0.8  （肢体语言积极）
P(E₂|没好感) = 0.3  （可能只是外向性格）

LR₂ = 0.8 / 0.3 ≈ 2.67

后验：50% → 约73%

E₃：分别时，TA说"改天再约"，但3周没联系

P(E₃|有好感) = 0.1  （真喜欢应该会主动联系）
P(E₃|没好感) = 0.7  （客套话）

LR₃ = 0.1 / 0.7 ≈ 0.14

后验：73% → 约20%

回到起点！

E₄：你主动发消息，TA秒回，聊得很开心

P(E₄|有好感) = 0.6
P(E₄|没好感) = 0.4  （也可能只是礼貌）

LR₄ = 0.6 / 0.4 = 1.5

后验：20% → 约27%

E₅：你邀请TA参加朋友聚会，TA答应并且打扮精致

P(E₅|有好感) = 0.8  （在意你的朋友对TA的印象）
P(E₅|没好感) = 0.2

LR₅ = 0.8 / 0.2 = 4

后验：27% → 约60%

E₆：聚会上，TA和你的朋友聊得很嗨，但和你反而话少了

P(E₆|有好感) = 0.2  （紧张？）
P(E₆|没好感) = 0.6  （把你当朋友，和你朋友社交）

LR₆ = 0.2 / 0.6 ≈ 0.33

后验：60% → 约33%

情感贝叶斯的难点

1. P(E|H)很难估计

肢体语言、话语的真实含义，因人而异。

解决：

了解对方性格基线（TA是外向还是内向？）
对比TA对你 vs 对其他人的行为

2. 证据互相关联

E₃（3周没联系）可能和E₂（眼神接触）矛盾，说明：

E₂被误读（只是TA的习惯）
或中间发生了什么（TA有了新约会对象）

3. 情绪影响先验

如果你很喜欢TA，先验可能被高估：

客观：20%
主观：50%（因为你希望如此）

确认偏误：只看到支持假设的证据，忽略反面证据。

解决方案：直接询问

最强证据：TA的明确回答

你："我对你有好感，你怎么想？"
TA："我也喜欢你" / "我把你当朋友"

LR = ∞ （几乎确定性）

为什么人们不这么做？

害怕被拒绝（损失厌恶）
希望"自然发展"
享受暧昧的不确定性（预期的快乐）

但从决策科学角度：

直接询问是最优策略（最小化不确定性）。

贝叶斯的陷阱与解药

陷阱1：先验过于主观

问题：如果先验是瞎猜的，后验也不可靠。

例子：

我认为这个项目成功概率90%（毫无依据）
即使有负面证据（LR=0.1）
后验 = 90% × 某个缩减 = 依然很高

解决：

用基础率作为先验（如行业平均成功率），而非主观感觉。

陷阱2：似然度估计错误

问题：P(E|H)的估计很主观。

解决：

用历史数据（如果有）
多专家取平均（集体智慧）
敏感性分析（如果LR从2变3，后验如何变化？）

陷阱3：证据选择偏差

只看支持假设的证据，忽略反对证据。

例子：

投资者只看创业公司的成功指标（用户增长），忽略负面指标（客户流失率、盈利能力）。

解决：

Red Team思维：

设立一个团队专门寻找反对证据。

陷阱4：过度更新

极端证据导致后验崩溃到0或100%。

例子：

先验：50%
极端负面证据（LR=0.001）
后验：几乎0%

然后停止寻找其他证据（"反正已经不可能了"）

问题：也许那个"极端证据"是假的/误读的。

解决：

保持一定开放性：

后验不应该到达0%或100%（除非证据是conclusive）
继续收集证据，验证之前的证据

工具：贝叶斯计算器

手工计算（小技巧）

用几率形式更直观：

Step 1: 先验概率 → 先验几率
  P(H) = 0.2 → 几率 = 0.2/0.8 = 1:4

Step 2: 计算似然比
  LR = P(E|H) / P(E|¬H)

Step 3: 后验几率 = 先验几率 × LR
  后验几率 = (1:4) × LR

Step 4: 几率 → 概率
  如果后验几率 = 3:1
  后验概率 = 3/(3+1) = 75%

Python代码

def bayesian_update(prior, likelihood_ratio):
    """
    贝叶斯更新
    
    prior: 先验概率 (0-1)
    likelihood_ratio: 似然比 P(E|H) / P(E|¬H)
    
    返回: 后验概率
    """
    # 概率 → 几率
    prior_odds = prior / (1 - prior)
    
    # 更新
    posterior_odds = prior_odds * likelihood_ratio
    
    # 几率 → 概率
    posterior = posterior_odds / (1 + posterior_odds)
    
    return posterior

# 例子
prior = 0.20  # 先验20%
LR1 = 3.5     # 证据1
LR2 = 2.67    # 证据2
LR3 = 0.14    # 证据3（负面）

posterior = prior
for LR in [LR1, LR2, LR3]:
    posterior = bayesian_update(posterior, LR)
    print(f"更新后概率: {posterior:.2%}")

# 输出:
# 更新后概率: 50.00%
# 更新后概率: 72.73%
# 更新后概率: 20.00%

深度反思：贝叶斯与科学

科学方法 = 系统化贝叶斯推理

科学的核心：

提出假设（先验）
设计实验（收集证据）
观察结果（似然度）
更新信念（后验）
重复

与传统"证明/证伪"的区别：

传统科学观	贝叶斯观
假设要么对要么错	假设有概率分布
一个实验可以"证伪"	实验只是更新概率
科学追求"真理"	科学追求"概率最高的解释"

Karl Popper vs Bayesian Science：

Popper：科学通过证伪进步（只要一个反例就推翻理论）

贝叶斯：科学通过逐步缩小不确定性进步（反例只是降低概率，不一定推翻）

现代趋势：贝叶斯统计在机器学习、医学、社会科学中主导。

主观概率的合理性

质疑：“每个人的先验不同，那科学还客观吗？”

Aumann’s Agreement Theorem（1976）：

如果两个理性人有相同的先验，且共享所有证据，则他们的后验必定相同。

实践含义：

科学家可以有不同先验
但随着证据积累，后验会收敛
数据足够多，先验影响消失

例子：

科学家A先验：引力波存在（90%）
科学家B先验：引力波存在（10%）

LIGO探测到引力波（强烈证据，LR=10^9）

科学家A后验：~100%
科学家B后验：~100%

殊途同归。

启示：

主观先验不是bug，是feature。

允许不同观点起点，但要求共同遵守贝叶斯规则更新。

今日练习

练习1：日常贝叶斯

选一个你的信念（如"我应该换工作"）

先验：基于目前信息，概率是多少？

收集证据：

和现同事聊（了解公司前景）
面试其他公司（了解市场行情）
阅读行业报告

每次证据后：

估计P(E|H)和P(E|¬H)
计算LR
更新后验
记录推理过程

1个月后：后验概率是多少？对比先验，改变多少？

练习2：福尔摩斯游戏

和朋友玩：

一人藏一个物品
另一人通过提问收集证据
每次回答后，大声说出后验概率
看谁用最少问题找到物品

练习3：反向贝叶斯

给定后验，反推需要什么证据：

如果你希望：

先验30% → 后验80%
需要LR是多少？

(0.3/0.7) × LR = (0.8/0.2)
LR = 4 / 0.4286 ≈ 9.33

需要9倍以上的强证据。

问自己：什么证据能提供LR=9？

明天预告：我们将探讨Expected Value（期望值）与Kelly Criterion（凯利公式）——如何在不确定性中优化决策和资金分配。

“当事实改变时，我改变观点。请问你呢？”
—— John Maynard Keynes（凯恩斯）

“贝叶斯思维的精髓：强势持有观点，弱势握住信念。”

引子：福尔摩斯的推理艺术#

贝叶斯定理：深度剖析#

数学形式（完整版）#

为什么P(E)常被忽略？#

似然比（Likelihood Ratio）：更实用的形式#

实战案例1：商业决策#

场景：是否进入新市场？#

证据收集与更新#

关键洞察#

实战案例2：投资决策#

场景：这家创业公司会成为独角兽吗？#

证据收集#

反思#

实战案例3：个人生活决策#

场景：对方喜欢我吗？（约会场景）#

证据观察#

情感贝叶斯的难点#

解决方案：直接询问#

贝叶斯的陷阱与解药#

陷阱1：先验过于主观#

陷阱2：似然度估计错误#

陷阱3：证据选择偏差#

陷阱4：过度更新#

工具：贝叶斯计算器#

手工计算（小技巧）#

Python代码#

深度反思：贝叶斯与科学#

科学方法 = 系统化贝叶斯推理#

主观概率的合理性#

延伸阅读#

今日练习#

练习1：日常贝叶斯#

练习2：福尔摩斯游戏#

练习3：反向贝叶斯#